Міністерство освіти та науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Курсова робота з курсу „Методи оптимізації” на тему: “Односторонні варіації” Прийняла Виконав: студент гр. ПМ-31 Львів – 2009 Зміст Вступ………………………………………………………………………….  4   Основні означення………………………………………………………..  6   Односторонні варіації: ………………………………………………….  9   А) Деякі обмеження, які можуть бути накладені на клас допустимих кривих; ……………………………………………………..  9   Б) Обчислення варіації функціонала………………………………..... 10   Висновок…………………………………………………………………. 13  Список інформаційних і літературних джерел……………………………. 14   Варіаційне числення (вступ) Поряд із задачами, в яких необхідно визначити максимальне та мінімальне значення деякої функції z = f(x), в задачах з фізики виникає необхідність знайти максимальні та мінімальні значення величин особливого роду, яких називають функціоналами. Функціоналами називаються змінні величини, значення яких визначаються вибором однієї або декількох функцій. Наприклад, функціоналом є довжина l дуги плоскої, чи просторової, кривої, що з’єднує дві задані точки
(див. рис. А). Величина l може бути обчислена, якщо задане рівняння кривої y = y(x); тоді
. у
х Рис. А Площа S деякої поверхні також є функціоналом, оскільки вона визначається вибором поверхні, тобто вибором функції z(x,y), яка входить в рівняння поверхні z= z(x,y). Як відомо,
, де D ― проекція поверхні на площину Oxy. Моменти інерції, статичні моменти,координати центра тяжіння деякої однорідної кривої або поверхні також є функціоналами, так як їх значення визначаються вибором кривої чи поверхні, тобто вибором функцій. Які входять в віяння цієї кривої чи поверхні. У всіх цих прикладах ми маємо характерну для функціоналів залежність: функції (чи вектор-функції) відповідає число, тоді як при задані функції z = f(x) числу відповідає число. Варіаційне числення вивчає методи, які дозволяють знаходити максимальні та мінімальні значення функціоналів. Задачі, в яких необхідно дослідити функціонал на максимум чи мінімум, називаються варіаційними задачами. Багато законів механіки та фізики зводяться до твердження, що деякий функціонал в процесі, який розглядається, повинен досягати мінімуму чи максимуму. В такому формулюванні ці закони носять назву варіаційних принципів механіки чи фізики. До таких варіаційних принципів або найпростіших наслідків з них належать: принцип найменшої дії, закон збереження енергії, закон збереження імпульсу, закон збереження кількості руху, закон збереження моменту кількості руху, різні варіаційні принципи класичної та релятивістської теорії поля, принцип Ферма в оптиці та інші. Варіаційне числення почало розвиватися з 1696 року і оформилося в самостійну математичну дисципліну з власними методами дослідження після фундаментальних робіт дійсного члена Петербурзької Академії наук Л. Ейлера (1707-1783рр.), якого можна впевнено вважати засновником варіаційного числення. Великий вплив на розвиток варіаційного числення мали наступні три задачі: задача про брахістохрону, задача про геодезичні лінії та ізопериметрична задача.  Варіація (основні означення) Приростом, або варіацією δy аргументу y(x) функціонала υ[y(x)] називається різниця між двома функціями δy = y(x)
(x). При цьому вважається, що y(x) змінюється довільно в деякому класі функцій. Функціонал υ[y(x)] називається неперервним, якщо малій зміні y(x) відповідає мала зміна функціонала υ[y(x)]. Останнє визначення потребує деякого уточнення і пояснення, оскільки зразу ж виникає питання, які зміни функції y(x), що є аргументом функціонала, називаються малими, або це ж те саме, що які криві y = y(x) і y =
(x) вважаються близькими чи такими, які мало відрізняються. Можна вважати близькими функції y(x) та
(x) у тому випадку, коли модуль їх різниці y(x)
(x) є малим для всіх значень х, для яких з...